概率

独立与互斥

两个概率均为正的事件，能否既相互独立又互斥？

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不能。互斥意味着 \(P(A \cap B)=0\)，而独立则要求 \(P(A \cap B)=P(A)P(B)>0\)。

连续随机变量的期望为什么使用小写 \(x\)？

假设 \(X\) 是一个连续随机变量，\(X\) 的期望通常写成

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx, \]

而非

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} X f_X(X)\,dX. \]

为什么第一种写法更规范？

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\(X\) 表示一个随机变量，而积分中的 \(x\) 是一个普通数值，也是积分的哑变量（dummy variable）。密度函数更完整地写作 \(f_X(x)\)：下标 \(X\) 表示“这是随机变量 \(X\) 的密度”，括号中的 \(x\) 表示“在数值 \(x\) 处计算该密度”。

因此，

\[ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx \]

清楚地区分了随机变量和它可能取得的数值。

严格来说，如果作者明确将大写 \(X\) 临时定义为积分的哑变量，第二个积分在纯数学运算上未必错误；哑变量叫什么并不改变积分值。但是，它让同一个符号同时扮演“随机变量”和“普通积分变量”两个角色，容易造成概念混淆，因此概率论中通常避免这种写法。