回归分析

如何解释斜率？

在简单线性回归中，斜率系数代表什么？

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它表示解释变量增加一个单位时，结果变量的期望变化量。只有在研究设计和相关假设充分成立时，才能将其解释为因果效应。

线性模型的“线性”是什么意思？

考虑以下三个模型：

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2, \]

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 \sin(X), \]

\[ Y = \beta_0 + e^{\beta_1}X. \]

哪个或哪些是线性模型，或者三者皆非线性？

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这里的“线性”通常是指模型对未知参数线性，而不是要求结果变量与原始解释变量 \(X\) 之间必须是一条直线。

前两个模型都是线性模型：

1. \(Y=\beta_0+\beta_1X+\beta_2X^2\) 对参数 \(\beta_0,\beta_1,\beta_2\) 都是线性的。可以把 \(X\) 和 \(X^2\) 看作两个已知的解释变量。
2. \(Y=\beta_0+\beta_1\sin(X)\) 对 \(\beta_0,\beta_1\) 也是线性的。可以把 \(\sin(X)\) 看作一个经过变换的解释变量。

第三个模型按 \(\beta_1\) 的原始参数化不是线性的，因为未知参数出现在指数函数中。若重新定义 \(\gamma=e^{\beta_1}\)，模型可以写成

\[ Y=\beta_0+\gamma X, \]

它对 \(\beta_0\) 和 \(\gamma\) 是线性的，但同时带有 \(\gamma>0\) 的参数约束。因此，是否称它为线性模型需要说明采用哪一种参数化；按照题目给出的 \(\beta_1\) 参数化，它是非线性的。